Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен a см, тогда и так как ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — впи­сан­ный в окруж­ность пра­виль­ный тре­уголь­ник. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что

то есть, грани пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра PC, от­ку­да и равен углу между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMB: от­ку­да

Ответ:

Из ри­сун­ка видно, что про­ек­ци­ей от­рез­ка A₁B на плос­кость грани BB₁C₁C яв­ля­ет­ся от­ре­зок BK.

Ответ: г).

Из ри­сун­ка видно, что про­ек­ци­ей от­рез­ка B₁C на плос­кость грани AA₁C₁C яв­ля­ет­ся от­ре­зок MC.

Ответ: в).

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке (см. рис). От­ре­зок A₁O  — ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг приз­мы сферы, он равен От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры ос­но­ва­ний приз­мы O₁O₂  — вы­со­та приз­мы. От­ре­зок OO₁ равен по­ло­ви­не этой вы­со­ты (ра­ди­ус впи­сан­ной в приз­му сферы). Найдём ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OO₁A₁:

Найдём вы­со­ту приз­мы:

Ответ:

Так как приз­ма опи­са­на во­круг ци­лин­дра, то она яв­ля­ет­ся пря­мой. По­сколь­ку осе­вым се­че­ни­ем этого ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат, то его вы­со­та равна диа­мет­ру, то есть h  =  2r. Так как пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна про­из­ве­де­нию по­лу­пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния и ра­ди­у­са впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти, то

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы равна По усло­вию S_пр  =  56, зна­чит, тогда Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

Так как приз­ма опи­са­на во­круг ци­лин­дра, то она яв­ля­ет­ся пря­мой. По­сколь­ку осе­вым се­че­ни­ем этого ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат, то его вы­со­та равна диа­мет­ру, то есть h  =  2r. Так как ос­но­ва­ния приз­мы равна про­из­ве­де­нию по­лу­пе­ри­мет­ра этого тре­уголь­ни­ка на ра­ди­ус впи­сан­но­го круга, то где P  — пе­ри­метр ос­но­ва­ния приз­мы. Тогда вы­со­та приз­мы равна Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы равна:

Так как объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния приз­мы на вы­со­ту, то пе­ри­метр равен 42.Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 4, а её вы­со­та  — 8. Най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

Утвер­жде­ние г) не­вер­но в силу ак­си­о­мы сте­рео­мет­рии. Точки C и лежат в плос­ко­сти а тогда и вся пря­мая лежит в этой плос­ко­сти.

Ответ: г).

Не­вер­ное утвер­жде­ние ука­за­но в пунк­те в).

Ответ: в).

Зная пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти, найдём сто­ро­ну AC:

Тогда, пло­щадь ос­но­ва­ния равна:

Пло­щадь се­че­ния будет от­но­сить­ся к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, как ко­си­нус угла между ними, тогда по­лу­чим:

Ответ:

Пло­щадь се­че­ния будет от­но­сить­ся к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, как ко­си­нус угла между ними, тогда по­лу­чим:

Зная пло­щадь ос­но­ва­ния, найдём сто­ро­ну AC:

Тогда, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ:

Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка MM₁. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC1 равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Из тре­уголь­ни­ка C₁M₁O на­хо­дим

по­это­му вы­со­та приз­мы равна

Зна­чит пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Най­дем мак­си­мум этого вы­ра­же­ния. Обо­зна­чая вре­мен­но по­лу­чим под кор­нем что до­сти­га­ет мак­си­му­ма при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). Зна­чит, от­ку­да AB  =  1 и

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ:

Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC₁ равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Кроме того, вер­ти­каль­ное ребро приз­мы имеет длину зна­чит,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OM₁C1 по­лу­ча­ем, что ра­ди­ус шара

Наи­мень­шее зна­че­ние под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). При нем же до­сти­га­ет­ся и наи­мень­шее зна­че­ние корня.

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ:

Пусть M и N  — се­ре­ди­ны от­рез­ков AA₁ и B₁C со­от­вет­ствен­но. До­ка­жем, что MN  — общий пер­пен­ди­ку­ляр к дан­ным двум пря­мым. Пусть T  — се­ре­ди­на BC. Тогда, оче­вид­но, что AM па­рал­лель­на BB₁ и NT, по­сколь­ку NT  — сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке B₁BC, тогда

Зна­чит, Най­дем длину AC:

Тогда, На­ко­нец, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Ответ: 6.

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: б.

Пусть K и M  — се­ре­ди­ны ребер A₁C₁ и AB со­от­вет­ствен­но. Тогда EK и FM  — сред­ние линии ос­но­ва­ний приз­мы, по­это­му они па­рал­лель­ны пря­мым C₁B₁ и CB, а зна­чит, и друг другу. По­это­му точки F, K, E, M лежат в одной плос­ко­сти. Далее, от­рез­ки A₁K и AF равны и па­рал­лель­ны, по­это­му AA₁KF  — па­рал­ле­ло­грамм и от­ре­зок FK па­рал­ле­лен ребру AA₁. Тогда:

по­сколь­ку пер­пен­ди­ку­ляр из точки A к пря­мой FM будет ле­жать в плос­ко­сти ос­но­ва­ния и, сле­до­ва­тель­но, будет пер­пен­ди­ку­ля­рен к пря­мой FK.

Тре­уголь­ни­ки AFM и ACB по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, по­это­му:

Ответ: 3.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту приз­мы:

Ответ: в.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту приз­мы:

Ответ: б.

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы:

Те­перь найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Итак, пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна:

Ответ: б.

Найдём вы­со­ту приз­мы:

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ: б.

Рас­смот­рим се­че­ние шара плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы. Это круг, в ко­то­рый впи­сан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 6. По тео­ре­ме си­ну­сов его ра­ди­ус можно найти по фор­му­ле:

Пусть O₁  — центр этого круга, O  — центр шара, A  — одна из вер­шин приз­мы. Тогда тре­уголь­ник OO₁A  — пря­мо­уголь­ный и

Итак, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы равно 2, зна­чит, вы­со­та приз­мы равна Тогда объем приз­мы равен:

Ответ: